题目

给你一个整数 n ,求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种?返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1:

输入:n = 3
输出:5

示例 2:

输入:n = 1
输出:1

题解

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[0]=1;//dp[i]表示有i个节点时返回的二叉搜索树的种数
        dp[1]=1;
        for(int i=2;i<n+1;i++){
            for(int j=1;j<i+1;j++){
                dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];//对每次循环套用 卡特兰数 公式G(n) = G(0)*G(n-1)+G(1)*(n-2)+...+G(n-1)*G(0),用i替换n
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

思路:

  1. 标签:动态规划
    假设 n 个节点存在二叉排序树的个数是 G (n),令 f(i) 为以 i 为根的二叉搜索树的个数,则
    G(n) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + … + f(n)

    当 i 为根节点时,其左子树节点个数为 i-1 个,右子树节点为 n-i,则
    f(i) = G(i-1)*G(n-i)

    综合两个公式可以得到 卡特兰数 公式
    G(n) = G(0)G(n-1)+G(1)(n-2)+…+G(n-1)*G(0)